Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）圖象如圖，P是圖象的最高點，Q為圖象與x軸的交點，O為原點．且|OQ|=2，|OP|=，|PQ|=．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f（x）圖象向右平移1個單位后得到函數y=g（x）的圖象，當x∈[0，2]時，求函數h（x）=f（x）•g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐標可得A的值，再由函數的周期求出ω的值，再把點P的坐標代入函數解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．
（Ⅱ）求出g（x） 的解析式，化簡h（x）=f（x）g（x） 的解析式為 sin（-）+，再根據x的范圍求出h（x） 的值域，從而求得h（x） 的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得cos∠POQ==，…（2分）
∴sin∠POQ=，得P點坐標為（，1），∴A=1，=4（2-），∴ω=． …（5分）
由f（）=sin（+φ）=1 可得 φ=，∴y=f（x） 的解析式為 f（x）=sin（x+）．…（6分）
（Ⅱ）根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求得 g（x）=sinx，…（7分）
h（x）=f（x）g（x）=sin（x+） sinx=+sinxcosx
=+sin=sin（-）+．…（10分）
當x∈[0，2]時，∈[-，]，
∴當 ，
即 x=1時，h_max（x）=．…（12分）
點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求函數的解析式，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．