【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
的左頂點為
，右焦點為
，
為橢圓
上兩點，圓
.
（1）若
軸，且滿足直線
與圓
相切，求圓的方程；
（2）若圓的半徑為
，點滿足
，求直線
被圓截得弦長的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
試題（1）確定圓
的方程，就是確定半徑的值，因為直線
與圓相切，所以先確定直線方程，即確定點
坐標(biāo)：因為
軸，所以
，根據(jù)對稱性，可取
，則直線的方程為
，根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得
（2）根據(jù)垂徑定理，求直線
被圓截得弦長的最大值，就是求圓心到直線的距離的最小值. 設(shè)直線的方程為
，則圓心到直線的距離
，利用
得
，化簡得
，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達定理得
，因此
，當(dāng)
時，
取最小值，取最大值為.
試題解析：解：（1）
因為橢圓
的方程為
，所以
，
.
因為軸，所以，而直線與圓相切，
根據(jù)對稱性，可取，
則直線的方程為，
即
.
由圓與直線相切，得，
所以圓的方程為.
（2）
易知，圓的方程為
.
①當(dāng)
軸時，
，
所以
，
此時得直線被圓截得的弦長為
.
②當(dāng)與
軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，
，
首先由，得，
即
，
所以（*）.
聯(lián)立
，消去，得
，
將
代入（*）式，
得.
由于圓心到直線的距離為，
所以直線被圓截得的弦長為
，故當(dāng)時，
有最大值為.
綜上，因為
，所以直線被圓截得的弦長的最大值為.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
上任一點
到
，
的距離之和為4.
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點
，設(shè)直線
不經(jīng)過
點,與交于
，
兩點，若直線
的斜率與直線
的斜率之和為
，判斷直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:
),并將樣本數(shù)據(jù)分組為
,
,
,
,
,
,
,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若樣本中月均用電量在的居民有
戶,求樣本容量;
(2)求月均用電量的中位數(shù);
(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取
戶居民,則月均用電量在的居民應(yīng)抽取多少戶?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)
（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：
且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.
在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=
；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
為橢圓
的左右焦點，在以
為圓心，1為半徑的圓
上，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于
，
兩點，過
與垂直的直線
交圓于
，
兩點，
為線段
的中點，求
的面積的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率為
，且
在橢圓
上運動，當(dāng)點恰好在直線l:
上時，
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）作與
平行的直線
，與橢圓交于
兩點，且線段
的中點為
，若
的斜率分別為
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
在
處的切線與直線
垂直，求的極值；
（2）設(shè)與直線
交于點
，拋物線
與直線交于點
，若對任意
，恒有
，試分析的單調(diào)性.
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