Question

已知函數 ，．

   (Ⅰ）當  時，求函數  的最小值； (Ⅱ）當  時，討論函數  的單調性；

   (Ⅲ）是否存在實數，對任意的 ，且，有,恒成立，若存在求出的取值范圍，若不存在，說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

解；（Ⅰ）顯然函數的定義域為，         ....................1分

當．     ....................2分

∴ 當，．

∴在時取得最小值，其最小值為 ．  ............ 4分

 

（Ⅱ）∵， ....5分

∴（1）當時，若為增函數；

為減函數；為增函數．

(2)當時,時,為增函數;

（3）當時，為增函數；

為減函數；

為增函數．                       ............ 9分

（Ⅲ）假設存在實數使得對任意的 ，且，有,恒成立，不妨設，只要，即：

令，只要 在為增函數

又函數．

    考查函數   ............10分

      要使在恒成立，只要，..........12分

             故存在實數時，對任意的 ，且，有,恒成立，

【解析】略