Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|=3米，|AD|=2米．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？
（2）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求出最小面積．

Answer 1

分析：（1）由題意設出AN的長為x米，因為三角形DNC∽三角形ANM，則對應線段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面積令其大于32得到關于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求出S的最大值即可；
解法2：求出S′=0時函數的駐點，討論函數的增減性得出函數的最大值即可．

解答：解：（1）解：設AN的長為x米（x＞2）
由題意可知：∵

|DN|

|AN|

=

|DC|

|AM|

∴

x-2

x

=

3

|AM|

∴|AM|=

3x

x-2

∴SAMPN=|AN|•|AM|=

3x2

x-2

由S_AMPN＞32得

3x2

x-2

＞32，
∵x＞2
∴3x²-32（x-2），即（3x-8）（x-8）＞0（x＞2）
解得：2＜x＜

8

3

或x＞8
即AN長的取值范圍是(2，

8

3

)∪(8，+∞)
（2）解法一：∵x＞2，
∴SAMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

=3(x-2)+

12

x-2

+12≥2

3(x-2) 12 x-2

+12=24(10分)
當且僅當3(x-2)=

12

x-2

，即x=4時，取“=”號
即AN的長為4米，矩形AMPN的面積最小，最小為24米．
解法二：∵S=

3x2

x-2

(x＞2)∴S′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x2-12x

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

令S'=0得x=4
當2＜x＜4時，S'＜0當x＞4時S'＞0
當x=4時，S取極小值，且為最小值．
即AN長為4米時，矩形AMPN的面積最小，最小為24平方米．

點評：考查學生會根據實際問題選擇函數關系的能力，利用導數求閉區間上函數最值的能力．以及用a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求最值的能力．