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已知函數f(x)=x•ex,g(x)=-x2-2x+m.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)若f(x)與g(x)的圖象恰有兩個交點,求實數m的取值范圍.
分析:(1)利用導數的運算法則,算出f'(x)=ex(1+x),從而得到當x<-1時,f'(x)<0;當x>-1時,f'(x)>0.由此結合導數的正負與函數單調性的關系,即可得到函數f(x)的單調區間;
(2)由(1)得[f(x)]min=-
1
e
.根據二次函數的圖象與性質,算出[g(x)]max=m+1,結合題意得不等式m+1>-
1
e
,解之可得實數m的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)=x•ex
∴f'(x)=ex+x•ex=ex(1+x)
令f'(x)=0,得x=-1
∵當x<-1時,f'(x)<0;當x>-1時,f'(x)>0
∴f(x)在(-∞,-1)上為減函數,在(-1,+∞)上為增函數.
(2)由(1)得[f(x)]min=f(-1)=-
1
e

∵二次函數g(x)=-x2-2x+m的圖象拋物線
關于x=-1對稱且開口向下
∴函數g(x)在(-∞,-1)上為增函數,在(-1,+∞)上為減函數
由此可得[g(x)]max=g(-1)=m+1
∵當f(x)的最小值小于g(x)的最大值時,f(x)與g(x)的圖象恰有兩個交點,
∴m+1>-
1
e
,得m>-1-
1
e

由此可得實數m的取值范圍是(-1-
1
e
,+∞).
點評:本題給出兩個基本初等函數,研究它們的單調性并且討論函數圖象的交點個數.著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數極值與最值和不等式恒成立等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數,且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數t的取值范圍.

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