Question

已知函數f（x）=x•e^x，g（x）=-x²-2x+m．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）與g（x）的圖象恰有兩個交點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則，算出f'（x）=e^x（1+x），從而得到當x＜-1時，f'（x）＜0；當x＞-1時，f'（x）＞0．由此結合導數的正負與函數單調性的關系，即可得到函數f（x）的單調區間；
（2）由（1）得[f（x）]_min=-

1

e

．根據二次函數的圖象與性質，算出[g（x）]_max=m+1，結合題意得不等式m+1＞-

1

e

，解之可得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x•e^x，
∴f'（x）=e^x+x•e^x=e^x（1+x）
令f'（x）=0，得x=-1
∵當x＜-1時，f'（x）＜0；當x＞-1時，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數，在（-1，+∞）上為增函數．
（2）由（1）得[f（x）]_min=f（-1）=-

1

e

∵二次函數g（x）=-x²-2x+m的圖象拋物線
關于x=-1對稱且開口向下
∴函數g（x）在（-∞，-1）上為增函數，在（-1，+∞）上為減函數
由此可得[g（x）]_max=g（-1）=m+1
∵當f（x）的最小值小于g（x）的最大值時，f（x）與g（x）的圖象恰有兩個交點，
∴m+1＞-

1

e

，得m＞-1-

1

e

，
由此可得實數m的取值范圍是（-1-

1

e

，+∞）．

點評：本題給出兩個基本初等函數，研究它們的單調性并且討論函數圖象的交點個數．著重考查了利用導數研究函數的單調性、函數極值與最值和不等式恒成立等知識，屬于中檔題．