Question

平地上有一條水渠，其橫斷面是一段拋物線弧，如圖，已知渠寬為4

6

m，渠深為6m．
（1）若渠中水深為m，求水面的寬，并計算水渠橫斷面上的過水面積；
（2）為了增大水渠的過水量，現要把這條水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請你設計水渠改挖后的底寬，并求出這個底寬．

Answer 1

分析：（1）建立坐標系，設拋物線的方程為x²=2py（p＞0）．由已知點P（2

6

，6）在拋物線上，推導出拋物線的方程為y=

1

4

x2，由此能求出水渠橫斷面過水面積．
（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，設切點M（t，

1

4

t2），t＞0．則函數在點M的切線方程為y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，由此能推導出設計改挖后的水渠的底寬為2

3

m時，可使用權所挖土的土方量最少．

解答：解：（1）建立如圖的坐標系，
設拋物線的方程為x²=2py（p＞0）．
由已知點P（2

6

，6）在拋物線上，得p=2，
∴拋物線的方程為y=

1

4

x2，
令y=4，得x=±4，即水面寬為8（m），
∴水渠橫斷面過水面積為2（4×4-

∫

4 0

1

4

x2dx
2（16-

1

12

x3）

|

4 0

=

64

3

（m²）．
（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，
如圖，設切點M（t，

1

4

t2），t＞0．
則函數在點M的切線方程為y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，
令y=0，y=6，得A（

1

2

t，0），B（

t

2

+

12

t

，6），
∴此時校對形OABC的面積為S（t）=

1

2

(t+

12

t

)•6=3（t+

12

t

），t＞0，
∵S（t）=3（t+

12

t

）≥12

3

，
當且僅當t=2

3

時，等號成立，
此時|OA|=

3

，
∴設計改挖后的水渠的底寬為2

3

m時，可使用權所挖土的土方量最少．

點評：本題考查函數在生產生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意定積分的合理運用．