Question

已知函數f(x)=3-x2+2x+3
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）使式子有意義可得定義域，由二次函數的值域可得答案；
（2）先求二次函數的單調區間，由復合函數的單調性可得函數的單調區間．

解答：解：（1）當x∈R時，函數f(x)=3-x2+2x+3均有意義，故函數的定義域為（-∞，+∞），
而由而二次函數的知識可得-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，故f(x)=3-x2+2x+3≤3⁴=81，
而由指數函數的值域可知f(x)=3-x2+2x+3＞0，故函數的值域為（0，81]
（2）由二次函數的知識可知函數t=-x²+2x+3的單調遞增區間為（-∞，1]，單調遞減區間為[1，+∞）．
由復合函數的單調性可知：原函數f（x）單調增區間為（-∞，1]；函數減區間為[1，+∞）．

點評：本題考查函數的定義域及值域的求解，以及復合函數的單調性，屬基礎題．