Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數，n為正整數，
（Ⅰ）證明：對任意實數λ，數列{a_n}不是等比數列；
（Ⅱ）證明：當λ≠-18時，數列{b_n}是等比數列；
（Ⅲ）設S_n為數列{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：假設存在一個實數λ，使｛a_n｝是等比數列，則有a₂²=a₁a₃，
即（）²=²矛盾，
所以｛a_n｝不是等比數列。
（Ⅱ）證明：∵
，
又λ≠-18，
∴，
由上式知，
∴，
故當λ≠-18時，數列｛b_n｝是以-（λ+18）為首項，為公比的等比數列。
（Ⅲ）解：當λ≠-18時，由（Ⅱ）得，
于是，
當λ=-18時，，從而，上式仍成立.
要使對任意正整數n，都有S_n＞-12，
即，
令，則
當n為正奇數時，；當n為正偶數時，1；
∴f（n）的最大值為，
于是可得，
綜上所述，存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12，
λ的取值范圍為。