Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）過點P（﹣1，﹣1），c為橢圓的半焦距，且c= b．過點P作兩條互相垂直的直線l1 ， l2與橢圓C分別交于另兩點M，N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l1的斜率為﹣1，求△PMN的面積；
（3）若線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為橢圓C： （a＞b＞0）過點P（﹣1，﹣1），

c為橢圓的半焦距，且c= b，

所以 ，且c2=2b2，

所以a2=3b2，解得b2= ，a2=4．

所以橢圓方程為：

（2）解：設l1方程為y+1=k（x+1），

聯立 ，

消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．

因為P為（﹣1，﹣1），解得M（ ， ）

當k≠0時，用﹣ 代替k，得N（ ， ）．

將k=﹣1代入，得M（﹣2，0），N（1，1）．

因為P（﹣1，﹣1），所以PM= ，PN=2 ，

所以△PMN的面積為 × ×2 =2

（3）解：設M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ，

兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

因為線段MN的中點在x軸上，

所以y1+y2=0，從而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．

若x1+x2=0，則N（﹣x1，﹣y1）．

因為PM⊥PN，所以 =0，得x12+y12=2．

又因為x12+3y12=4，所以解得x1=±1，

所以M（﹣1，1），N（1，﹣1）或M（1，﹣1），N（﹣1，1）．

所以直線MN的方程為y=﹣x．

若x1﹣x2=0，則N（x1，﹣y1），

因為PM⊥PN，所以 =0，得y12=（x1+1）2+1．

又因為x12+3y12=4，所以解得x1=﹣ 或﹣1，

經檢驗：x=﹣ 滿足條件，x=﹣1不滿足條件．

綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=﹣

【解析】（1）由已知條件推導出 ，且c2=2b2 ， 由此能求出橢圓方程．（2）設l1方程為y+1=k（x+1），聯立 ，得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．由此能求出△PMN的面積．（3）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用點差法能求出直線MN的方程為x+y=0或x=﹣ ．