Question

已知函數是奇函數且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定義判斷f（x）在（-∞，-1）上的單調性．

Answer 1

解：（1）因為f（-x）=-f（x）即
所以-ax+b=-ax-b∴b=0，又f（1）=2，所以
（2）由（1）得
設x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實數，且x₁＜x₂，則=，因為x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函數．
分析：（1）由函數是奇函數得f（-x）=-f（x）即恒成立，化簡得b=0，再由f（1）=2，可求得a值．
（2）由（1）得，設x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意兩實數，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），將差化簡為幾個因子的乘積，再判斷差的符號，用定義判斷出結論．注意用定義法證明時的步驟．
點評：本題考點是函數的性質，主要考查函數奇偶性與單調性，是函數性質中的一道常規題型，是近幾年高中教學中考查函數性質時常用的模式．