Question

(08年海淀區期中練習理)（14分）

一個函數，如果對任意一個三角形，只要它的三邊長都在的定義域內，就有也是某個三角形的三邊長，則稱為“保三角形函數”．

（I）判斷，，中，哪些是“保三角形函數”，哪些不是，并說明理由；

（II）如果是定義在上的周期函數，且值域為，證明不是“保三角形函數”；

（III）若函數，是“保三角形函數”，求的最大值．

（可以利用公式）

Answer 1

解析：（I）是“保三角形函數”，不是“保三角形函數”．      1分

任給三角形，設它的三邊長分別為，則，不妨假設，

由于，所以是“保三角形函數”.   3分

對于，3，3，5可作為一個三角形的三邊長，但，所以不存在三角形以為三邊長，故不是“保三角形函數”．                      4分

（II）設為的一個周期，由于其值域為，所以，存在，使得，

取正整數，可知這三個數可作為一個三角形的三邊長，但，不能作為任何一個三角形的三邊長．故不是“保三角形函數”．                                                     8分

（III）的最大值為．                                              9分

一方面，若，下證不是“保三角形函數”.

取，顯然這三個數可作為一個三角形的三邊長，但

不能作為任何一個三角形的三邊長，故不是“保三角形函數”.

11分

另一方面，以下證明時，是“保三角形函數”．

對任意三角形的三邊，若，則分類討論如下：

（1），

此時，同理，，

∴，故，．

同理可證其余兩式.

∴可作為某個三角形的三邊長．

（2）

此時，，可得如下兩種情況：

時，由于，所以，.

由在上的單調性可得；

時，，

同樣，由在上的單調性可得；

總之，.

又由及余弦函數在上單調遞減，得

，

∴．

同理可證其余兩式，所以也是某個三角形的三邊長．故時，是“保三角形函數”．

綜上，的最大值為．                                        14分

說明：其他正確解法按相應步驟給分.