Question

在平面直角坐標系xoy中，以點P為圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切(兩切點不重合)．

(1)求動點P的軌跡方程；

(2)若直線mx一y+2m+5=0(m∈R)與點P的軌跡交于A、B兩點，問：當m變化時，以線段AB為直徑的圓是否會經過定點?若會，求出此定點；若不會，說明理由．

 

Answer 1

（1）（＞）；（2）會定點為.

【解析】

試題分析：本題主要考查兩圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系等數學知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，由于以點p為圓心的圓與x軸相切，通過數形結合得且，解出x與y的關系，即所求的P點的軌跡方程；第二問，直線與拋物線方程聯立，消參得到關于x的方程，得到，，先寫出以線段AB為直徑的圓的方程，將，代入后，得到關于m的方程，由于m∈R，所以得到，解出唯一解，所以圓過定點（2,1）.

試題解析：⑴設，由題意知且，得

故所求點的軌跡方程為（＞） 5分

⑵設、，將代入得

∴ 7分

而以線段為直徑的圓的方程為，

即 ，

得 ， 10分

整理成關于的方程

由于以上關于的方程有無數解，故，

由以上方程構成的方程組有唯一解.

由此可知，以線段為直徑的圓必經過定點. 13分

考點：1.拋物線的標準方程；2.直線與拋物線的位置關系；3.兩個圓的位置關系.