Question

已知函數f（x）的定義域為R，且f（0）=2，對任意x∈R，都有f（x）+f′（x）＞1，則不等式e^xf（x）＞e^x+1的解集為（　　）

A．{x|x＞0}

B．{x|x＜-1，或x＞1}

C．{x|x＜0}

D．{x|x＜-1，或x≥1}

Answer 1

分析：令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，利用導數可判斷函數g（x）的單調性，由已知條件可得函數g（x）的零點，由此可解得不等式．

解答：解：令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上單調遞增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故當x＞0時，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集為{x|x＞0}．
故選A．

點評：本題考查函數單調性的性質及其應用，考查抽象不等式的求解，考查導數與函數單調性的關系，綜合性較強，難度較大．