Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx在x=α與x=β處有兩上不同的極值點，設f（x）在點（-1，f（-1））處切線為l₁，其斜率為k₁；在點
（1，f（1））利的切線為l₂，其斜率為k₂．
（1）若
（2）若，求k₁k₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出求出函數的導函數，因為兩直線垂直得到斜率乘積為-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一個式子①，因為α和β為方程的兩個根，利用根與系數的關系表示出|α-β|，代入到|α-β|=中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-代入到導函數中得到b與c的關系③，又因為β∈（0，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b與c的等式④，由③④解出c的取值范圍，而表示出k₁k₂，由c的范圍即可得到k₁k₂的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的兩根，∴
又∵②
由①②得
（2）③
∵④
由③④得：

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究曲線上某點切線方程的能力，以及會求直線的斜率．