Question

對于函數f(x)=

x-1

x+1

，設f2(x)=f[f(x)]，f3(x)=f[f2(x)]，…，fn+1(x)=f[fn(x)]（n∈N*，且n≥2），令集合M={x|f₂₀₀₇（x）=x，x∈R}，則集合M為（　　）

A．空集

B．實數集

C．單元素集

D．二元素集

Answer 1

分析：先驗證前幾個函數的表達式，找出同期再計算求值即可．

解答：解：由題設可知f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=-

x+1

x-1

，f₄（x）=x，
f₅（x）=

x-1

x+1

，f₆（x）=-

1

x

，f₇（x）=f₃（x）=-

x+1

x-1

，
故從f₃（x）開始組成了一個以f（x）為首項，以周期為4重復出現一列代數式，
由2007=3+501×4得f₂₀₀₇（x）=f₃（x），故-

x+1

x-1

=x整理得，x²=-1，無解，
故選A．

點評：本題主要考查了函數的周期性，解題的關鍵是求函數的周期，同時考查了計算能力，屬于基礎題．