Question

【題目】鎮江市長江路江邊春江潮廣場要設計一尊鼎型塑像（如圖1），塑像總高度為12米，塑像由兩部分組成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱組成（立柱上凸起部分忽略不計），下半部分由正四棱臺的上底面四根水平橫柱和正四棱臺的四根側棱斜柱組成，如圖2所示．設計要求正棱臺的水平橫柱長度為4米，下底面邊長為8米，設斜柱與地面的所成的角為．

（1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求的取值范圍？

（2）若該塑像上半部分立柱的造價為千元/米（立柱上凸起部分忽略不計），下半部分橫柱和斜柱的造價都為2千元/米，問當為何值時，塑像總造價最低？

Answer 1

【答案】（1）米，的范圍為．（2）當時，塑像總造價最低．

【解析】

（1）在平面AEGC內作，利用面面垂直的性質定理可得平面EFGH，為斜柱與地面所成的角，由即可求解.

（2）設總造價為y，則，利用導數即可求解.

解：（1）由正四棱臺的定義，平面平面EFGH，

在平面AEGC內作，交EG于M，

平面平面，

則平面EFGH，

則為斜柱與地面所成的角，即．

顯然，A，M三點共線，

在等腰梯形AEGC中，，，

則，，立柱，

因為，所以．

答：塑像上半部分的高度米，的范圍為．

（2），設總造價為y，

則，

，

記，則，

令，則，所以，

列表：

		0
	減函數	1	增函數

所以當時，有最小值．

答：當時，塑像總造價最低．