Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分別是BC，PC的中點．H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為．
（1）證明：AE⊥PD；
（3）求異面直線PB與AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結論．
（2）EH與平面PAD所成最大角的正切值為可求出PA=AB，然后以AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，求出異面直線PB與AC所在向量的夾角的余弦值，從而求出所求；
（3）將三棱錐P-AEF的體積轉化成三棱錐F-AEP，然后利用三棱錐的體積公式即可求出．
解答：證明：（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
因為E為BC的中點，所以AE⊥BC．
又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因為PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，
所以AE⊥PD．
（2）設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH．
由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，
則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=，
所以當AH最短時，∠EHA最大，
即當AH⊥PD時，∠EHA最大．
此時 tan∠EHA===，
因此 AH=．又AD=2，所以∠ADH=45°，
所以PA=2．
以AE為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（-1，，0），C（1，，0）
P（0，0，2）則=（-1，，-2），=（1，，0）
cos＜，＞===
∴異面直線PB與AC所成的角的余弦值
（3）V_P-AEF=V_F-PAE=××2××=．
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、線線的位置關系、異面直線所成角及其幾何體的體積等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．