Question

函數f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

給出下列四個命題，其中正確的是（　�。�

• A．f（x）的值域為[-1.1]
• B．f（x）是以π為周期的周期函數
• C．當且僅當x=2kx+

  π

  2

  （k∈Z）時，f（x）取得最大值
• D．當且僅當2kx+π＜x＜2kx+

  3π

  2

  （（k∈Z））時，f（x）＜0

Answer 1

分析：由題意作出此分段函數的圖象，由圖象研究該函數的性質，依據這些性質判斷四個命題的真假．此函數取自變量相同時函數值大的那一個，由此可順利作出函數圖象．

解答：解：由題意函數f（x）=

sinx，(sin≥cosx) cosx，(sinx＜cosx)

，畫出f（x）的圖象，
圖中實線部分．觀察圖象可知：

∵f（x+2π）=f（x），但是f（x+π）≠f（x），
∴函數f（x）的最小正周期為2π，故A錯誤；
由圖象知，在x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）時，函數圖象位于最低點，
該函數取得最小值sin（

5π

4

+2kπ）=-

2

2

，
∴B錯誤；
由圖象知，當且僅當x=2kx或x=2kx+

π

2

（k∈Z）時，函數圖象位于最高點1，
∴f（x）取得最大值1，
∴C錯；
∵在2kx+π＜x＜2kx+

3π

2

（（k∈Z））時，函數圖象在x軸下方，
∴f（x）＜0，
∴D正確．
故選D．

點評：本題考點是三角函數的最值，本題是函數圖象的運用，由函數的圖象研究函數的性質，并以由圖象研究出的結論判斷和函數有關的命題的真假．