Question

遼寧號航母紀念章從2012年10月5日起開始上市．通過市場調查，得到該紀念章每1枚的市場價y（單位：元）與上市時間x（單位：天）的數據如下：

上市時間x天	4	10	36
市場價y元	90	51	90

（1）根據上表數據，從下列函數中選取一個恰當的函數描述遼寧號航母紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系：①y=ax+b；②y=ax²+bx+c；③y=alog_bx；
（2）利用你選取的函數，求遼寧號航母紀念章市場價最低時的上市天數及最低的價格；
（3）設你選取的函數為f（x），若對任意實數k，方程f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）∵隨著時間x的增加，y的值先減后增，
而所給的三個函數中y=ax+b和y=alog_bx顯然都是單調函數，不滿足題意，
∴y=ax²+bx+c…（4分）
（2）把點（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得

a•42+4b+c=90 a•102+10b+c=51 a•362+36b+c=90

?

a= 1 4 b=-10 c=126

…（6分）
∴y=

1

4

x2-10x+126=

1

4

(x-20)2+26
∴當x=20時，y有最小值，y_min=26…（8分）
故，遼寧號航母紀念章市場價最低時的上市天數為20天，最低價格為26元…（9分）
（3）由（2）知f(x)=

1

4

x2-10x+126，又∵f（x）=kx+2m+120恒有兩個相異的零點，則

1

4

x2-(k+10)x+6-2m=0恒有兩個相異的零點，所以△1=[-(k+10)]2-4×

1

4

(6-2m)＞0恒成立，…（11分）
即k²+20k+2m+94＞0對k∈R恒成立，
所以，△2=202-4(2m+94)＜0，…（12分）
解得m＞3．故，m的取值范圍為（3，+∞）．…（14分）