Question

已知函數f（x）是二次函數，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在區間[-1，5]上的最大值是12，則f（x）的解析式為     ．

Answer 1

【答案】分析：由已知函數f（x）是二次函數，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），可得到函數圖象開口向下，且x=0，與x=4是其兩個零點，由f（x）在區間[-1，5]上的最大值是12，知函數的頂點坐標是（2，12），故可用待定系數法設出它的頂點式方程，再代入相應點求參數．
解答：解：∵函數f（x）是二次函數，不等式f（x）＞0的解集是（0，4），且f（x）在區間[-1，5]上的最大值是12，
∴二次函數圖象開口向下，且其頂點坐標是（2，12），且x=0，與x=4是其兩個零點，
 故可設f（x）=a（x-2）²+12
 將點（0，0） 代入得0=4a+12，解得a=-3
故函數f（x））=-3（x-2）²+12
故答案為f（x））=-3（x-2）²+12．
點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，考查用根據最值與函數的相關特征是待定系數法設出函數解析式，再根據已知條件求參數，二次函數的解析式的設法有三種，依次為頂點式，兩根式，一般式，本題采用了頂點式．