Question

如圖，在四棱錐中，底面邊長為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

Answer 1

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、異面直線所成角及點到平面的距離等知識，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力.

方法一（綜合法）

  （1）取OB中點E，連接ME，NE

又

           

  （2）

       為異面直線與所成的角（或其補角）

                  作連接

                 

                 

         ∵，

                所以 與所成角的大小為

         （3）點B和點A到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作

 于點Q，

              又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

                ，

         ∴，所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)

作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系

,

 

 

 

(1)

設平面OCD的法向量為n=(x,y,z),則n=0,n=0

即

取,解得

(2)設與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,

       由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為