Question

對于函數f（x），若存在x₀=f（x₀），則稱x₀為f（x）的不動點．已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；
（2）對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下若函數f（x）的圖象上A，B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A，B兩點關于直線y=kx+

1

2a2+1

對稱，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的a，b的值寫出函數f（x）=x² -x-3，根據當x₀=f（x₀），稱x₀為f（x）的不動點，得到x²-x-3=x，得兩個不動點為-1，3．
（2）f（x）恒有兩個不動點，等價于關于x的方程ax²+bx+b-1=0有兩個相異的實根，得到△=b²-4a（b-1）＞0，即b²-4ab+4a＞0恒成立，又要用二次函數的判斷時來求出結果．
（3）設出A，B兩個點的坐標，寫出兩個點的中點坐標，根據中點在一條直線上，代入直線的方程，把b整理成含有a的代數式的形式，根據基本不等式求出最小值．

解答：解：（1）當a=1，b=-2時，函數f（x）=x² -x-3．
∵當x₀=f（x₀），稱x₀為f（x）的不動點
∴x²-x-3=x，得兩個不動點為-1，3；
（2）f（x）恒有兩個不動點，等價于關于x的方程ax²+bx+b-1=0有兩個相異的實根，
∴△=b²-4a（b-1）＞0，
即b²-4ab+4a＞0恒成立．∴△′=16a²-16a＜0，解得0＜a＜1．
（3）設A、B兩點的橫坐標分別為x₁，x₂，則AB中點的橫坐標為x0=

x1+x2

2

=-

b

2a

，
A，B兩點關于直線y=kx+

1

2a2+1

對稱則k=-1
從而縱坐標為y0=kx0+

1

2a2+1

=

b

2a

+

1

2a2+1

，又AB的中點在直線y=x上，
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

，得b=-

a

2a2+1

=-

1

2a+ 1 a

≥-

1

2 2

=-

2

4

，
當且僅當2a=

1

2a

，即a=

2

2

時，b=-

2

4

．

點評：本題考查函數與方程的綜合應用，本題解題的關鍵是讀懂不動點的含義，特別是第二問中兩次應用二次函數的判別式，這是題目的亮點．