Question

（08年遼寧卷理）在數列中,,且成等差數列,成等比數列.

⑴求及,由此猜測的通項公式,并證明你的結論;

⑵證明:.

Answer 1

說明：本小題主要考查等差數列，等比數列，數學歸納法，不等式等基礎知識，考查綜合運用數學知識進行歸納、總結、推理、論證等能力．滿分12分．

解析：

（Ⅰ）由條件得

由此可得

．?????????????????????????????????????? 2分

猜測．????????????????????????????????????? 4分

用數學歸納法證明：

①當n=1時，由上可得結論成立．

②假設當n=k時，結論成立，即

，

那么當n=k+1時，

．

所以當n=k+1時，結論也成立．

由①②，可知對一切正整數都成立．?????????????????????????????? 7分

（Ⅱ）．

n≥2時，由（Ⅰ）知．????????????????????????????????? 9分

故

綜上，原不等式成立． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分