Question

已知，當x∈[1，3]時，f（x）的值域為A，且A⊆[n，m]（n＜m）．
（1）若a=1，求m-n的最小值；
（2）若m=16，n=8，求a的值；
（3）若m-n≤1，且A=[n，m]，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數的單調性可得f（x）∈[f（1），f（3）]，由，求得m-n的最小值．
（Ⅱ）由題意可得，當m=16時，a≤16x-x²恒成立，a≤（-x²+16x）_min =15．當n=8時，a≥8x-x²恒成立，a≥（-x²+8x）_max =15，由此求得a的值．
（3）根據 m-n≤1，且A=[n，m]，分、 和三種情況，分別求出a的取值范圍，再取并集，即得所求．
解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）在區間[1，3]上單調遞增，∴f（x）∈[f（1），f（3）]，…（3分）
∴當x∈[1，3]時，，即m-n的最小值是．…（5分）
（Ⅱ）由題意可得，當m=16時，恒成立，即當x∈[1，3]時，a≤16x-x²恒成立，
∴a≤（-x²+16x）_min =15．…（7分）
當n=8時，恒成立，即當x∈[1，3]時，a≥8x-x²恒成立，∴a≥（-x²+8x）_max =15．…（9分）
綜上可得：a=15．…（10分）
（Ⅲ）①若，即0＜a≤1時，在[1，3]單調遞增，
∴，a無解．…（11分）
②當，即1＜a＜9時，在遞減，在遞增，
∴，∴，，．…（13分）
③當，即a≥9時，函數f（x）在區間[1，3]上單調遞減，
∴，a無解；…（14分），
綜上可得：．…（16分）
點評：本題主要考查利用函數的單調性求函數的值域，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．