Question

11．已知函數f（x）=x²+blnx和$g（x）=\frac{x-10}{x-4}$的圖象在x=5處的切線互相平行．
（1）求b值；
（2）求f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義分別求出函數f（x）與g（x）在x=4處的導數，根據函數f（x）和g（x）的圖象在x=5處的切線互相平行，建立等量關系，求出b即可；
（2）求導數，確定函數的單調性，即可求f（x）的極值．

解答 解：（1）g'（x）=$\frac{6}{{（x-4）}^{2}}$，∴g'（5）=6，
∵函數f（x）=x²+blnx和g（x）的圖象在x=5處的切線互相平行
∴f'（5）=6，
而f'（x）=2x+$\frac{b}{x}$，則f'（5）=10+$\frac{b}{5}$=6
∴b=-20；
（2）由（1）得：
f（x）=x²-20lnx，顯然f（x）的定義域為（0，+∞），
f'（x）=$\frac{{2x}^{2}-20}{x}$，令f'（x）=0，解得x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$（舍去）
∴當0＜x＜$\sqrt{10}$時，f'（x）＜0，當x＞$\sqrt{10}$時，f'（x）＞0
∴f（x）在（0，$\sqrt{10}$）上是單調遞減函數，在（$\sqrt{10}$，+∞）上是單調遞增函數
∴f（x）在x=$\sqrt{10}$時取得極小值且極小值為f（$\sqrt{10}$）=10-10ln10．

點評 本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及兩條直線平行的判定等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力．