Question

在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分別為AB、SB的中點．
（I）證明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求銳二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B點到平面CEF的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC中點O，并以O為原點，OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系．給出A、B、S、E、F各點的坐標，從而得到向量的坐標，計算出數量積，即可證出AC⊥SB；
（II）根據題意，算出向量的坐坐標，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組解出為平面CEF的一個法向量，而為平面ABC的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出夾角的余弦值，即可得到銳二面角F-CE-B的余弦值；
（III）在平面CEF內取點B，得到向量，根據空間坐標系點到平面的距離公式，即可算出點B到平面CEF的距離為．
解答：解：（Ⅰ）取AC中點O，根據題意可得OA、OB、OS兩兩互相垂直，
因此以O為原點，分別以OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系，則A（1，0，0），
，，，，C（-1，0，0）
∴，
∵
∴，即得AC⊥SB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
設為平面CEF的一個法向量，
則，取z=1，得．
∴平面CEF的一個法向量為．
又∵為平面ABC的一個法向量，
∴，
結合題意二面角F-CE-B是一個銳二面角，所以二面角F-CE-B的余弦值為．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ），可得，
∵為平面CEF的一個法向量
∴由點到平面的距離公式，可得
點B到平面CEF的距離為 ．
點評：本題給出底面為等邊三角形且一個側面與底面垂直的三棱錐，求證線線垂直并求二面角的大小和點到平面的距離．著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識，屬于中檔題．