Question

如圖，F為雙曲線C：-=1(a＞b＞0)的左焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點，已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|.

(Ⅰ)寫出雙曲線c的離心率e與λ的關系式；

(Ⅱ)當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵四邊形OFPM是平行四邊形，∴|OF|=|PM|=c,

    作雙曲線的右準線交PM于H，則|PM|=|PH|+2·,

    又e==,

∴e²-λe-2=0.

(Ⅱ)當λ=1時，e=2,c=2a,b²=3a²,雙曲線為-=1,

∵四邊形OFPM為菱形，∴K_OP=,直線AB：y=(x-2a).

    代入雙曲線方程得：9x²-48ax+60a²=0,

    又|AB|=12,|AB|

=∴12

=,

    解得a²=,則b²=,

∴雙曲線方程為-=1.