Question

設C：y=x²（x＞0）上的點為P₀（x₀，y₀），在P₀處作曲線C的切線與x軸交于Q₁，過Q₁作平行于y軸的直線與曲線C交于P₁（x₁，y₁），然后在P₁作曲線C的切線與x軸交于Q₂，過Q₂作平行于y軸的直線與曲線C交于P₂（x₂，y₂），依此類推，作出以下各點：Q₃，P₃，…Q_n，P_n…．已知x₀=2，則數{x_n}的通項公式是______．

Answer 1

∵x₀=2，P₀（x₀，y₀）在y=x²上，
∴y₀=2²=4，即P₀（2，4），
求導得：y′=2x，
∴在P₀處作曲線C的切線的斜率為y′_x=2=4，
則此切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4，
令y=0，解得：x=1，即x₁=1，
∴P₁（1，1），
同理可得x₂=

1

2

，x₃=

1

4

，…，
∴x_n=(

1

2

)n-1．
故答案為：(

1

2

)n-1