Question

【題目】已知定義域是R上的奇函數．

（1）求a；

（2）判斷在R上的單調性，并用定義法證明；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；

（4）設關于x方程有零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）在R上單調遞增，證明見解析；

（3）；

（4）；

【解析】

（1）根據奇函數的性質，，求；（2）根據（1）的結論，，變形為，利用單調性的的定義域證明；（3）函數是奇函數，不等式變形為，根據（2）可知，函數單調遞增，所以恒成立，利用參變分離得恒成立，求的取值范圍；（4）因為函數是奇函數，所以，所以，即：有零點，設，，轉化為求函數的值域.

（1）因為是R上的奇函數，所以，即：，∴，經檢驗，滿足，所以．

（2）

∴在R上單調遞增，以下證明：

對，且

由的單調遞增性知

又，，

∴

∴在R上單調遞增．

（3）由題意，對，

又

∴

又由（2）知：在R上單調遞增

∴

令，易知其最小值是-4．

∴，即

（4）由題意知：有零點

即：

在R上單調

∴

即：有零點

令：

有零點

即：函數與函數有交點

易知：有最小值

∴時，有零點．