Question

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且：sinA+sinB-3sinC=0，a+b+c=4．
（1）求邊長c的值；
（2）若△ABC的面積S=1-

1

9

（a²+b²）；
求：①sinC的值；②

a2+b2

asinA+bsinB

的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的第一個等式，得到a+b=3c，代入第二個等式中計算，即可求出c的長；
（2）①利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，代入已知的等式中，利用完全平方公式變形后，將a+b=3代入化簡，即可求出sinC的值；
②由正弦定理列出關系式，變形后利用合比性質化簡，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵sinA+sinB-3sinC=0，
∴a+b-3c=0，即a+b=3c，
∵a+b+c=4，
∴4c=4，即c=1；
（2）①∵S=

1

2

absinC=1-

1

9

（a²+b²）=1-

(a+b)2-2ab

9

=

2ab

9

，
∴sinC=

4

9

；
②

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

9

4

，
∴

a2

asinA

=

b2

bsinB

=

9

4

，
∴

a2+b2

asinA+bsinB

=

9

4

．

點評：此題考查了正弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運用，以及比例的性質，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．