Question

5．已知直線y=kx+1是曲線y=$\frac{1}{x}$的切線，則k的值為-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 欲求k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導數求出在切處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：∵y=$\frac{1}{x}$，∴y'=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設切點為（m，$\frac{1}{m}$），得切線的斜率為-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
所以曲線在點（m，$\frac{1}{m}$）處的切線方程為：y-$\frac{1}{m}$=-$\frac{1}{{m}^{2}}$×（x-m）．
它過（0，1），∴-$\frac{2}{m}$=1，∴m=-2，
∴k=-$\frac{1}{4}$．
故答案為-$\frac{1}{4}$．

點評 本小題主要考查直線的方程、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．