Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..

(1)求角A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝，試判斷△ABC的形狀.

Answer 1

【答案】（1）；（2）等邊三角形.

【解析】

（1）利用余弦定理表示出cosA，然后根據正弦定理化簡已知的等式，整理后代入表示出的cosA中，化簡后求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；

（2）由A為60°，利用三角形的內角和定理得到B+C的度數，用B表示出C，代入已知的sinB+sinC=中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B的范圍，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值求出B為60°，可得出三角形ABC三個角相等，都為60°，則三角形ABC為等邊三角形．

(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，

∴cosA＝,∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，

∴B＋C＝180°－60°＝120°，

由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，

∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝，

∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1，

∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°，

∴B＋30°＝90°，B＝60°，

∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形.