Question

若函數f（x）=

lnx

x

的圖象恰與直線y=b有兩個公共點，則實數b的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  e

  ）
• B．（-∞，

  1

  e

  ）
• C．（0，e）
• D．（e，+∞）

Answer 1

分析：由f（x）=

lnx

x

，知x＞0，f′(x)=

1-lnx

x2

，由f′(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e．列表討論知當x=e時，f（x）=

lnx

x

取極大值f（e）=

1

e

，由此能求出函數f（x）=

lnx

x

的圖象恰與直線y=b有兩個公共點時b的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

lnx

x

，
∴x＞0，f′(x)=

1-lnx

x2

，
由f′(x)=

1-lnx

x2

=0，得x=e．
列表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	極大值 1 e	↓

∴當x=e時，f（x）=

lnx

x

取極大值f（e）=

1

e

，
∵函數f（x）=

lnx

x

的圖象恰與直線y=b有兩個公共點，
∴0＜b＜

1

e

．
故選A．

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．解題時要認真審題，仔細解答．