Question

某學校數學興趣小組有10名學生，其中有4名女同學；英語興趣小組有5名學生，其中有3名女學生，現采用分層抽樣方法（層內采用不放回簡單隨機抽樣）從數學興趣小組、英語興趣小組中共抽取3名學生參加科技節活動．
（1）求從數學興趣小組、英語興趣小組各抽取的人數；
（2）求從數學興趣小組抽取的學生中恰有1名女學生的概率；
（3）記ξ表示抽取的3名學生中男學生數，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）求從數學興趣小組、英語興趣小組各抽取的人數，根據分層抽樣的規則抽取即可；
（2）求從數學興趣小組抽取的學生中恰有1名女學生的概率，用古典概率公式求即可，利用計數原理求出總的基本事件數，再求出恰有一名女生包含的基本事件數．
（3）記ξ表示抽取的3名學生中男學生數，求ξ的分布列及數學期望，先求分布列，再法度期望，三名學生中男生數可能為0，1，2，3，故依次求出相應的概率即可．

解答：解：（1）按比例計算得，抽取數學小組的人數為2人；英語小組的人數為1人；
（2）從數學興趣小組抽取的學生中恰有1名女學生的概率為p=

C 1 6 • C 1 4

C 2 10

=

8

15

；
（3）分析知ξ的取值可以為0，1，2，3，故有
p(ξ=0)=

C 2 4

C 2 10

•

3

5

=

2

25

，p(ξ=1)=

C 1 6 • C 1 4

C 2 10

•

3

5

+

C 2 4

C 2 10

•

2

5

=

28

75

，p(ξ=2)=

C 2 6

C 2 10

•

3

5

+

C 1 6 • C 1 4

C 2 10

•

2

5

=

31

75

，p(ξ=3)=

C 2 6

C 2 10

•

2

5

=

2

15

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	2 25	28 75	31 75	2 15

Eξ=0×

2

25

+1×

28

75

+2×

31

75

+3×

2

15

=

8

5

．

點評：本題是一個應用題，考查了數據處理的能力，以及利用概率的相關公式計算概率的能力，考查了分布列的求法，及根據分布列求期望的公式，本題考查得很全面，是概率運用的一道很典型的題目上．