Question

已知數列{a_n}中，其前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-1，n∈N*，數列{b_n}滿足
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設數列{a_nb_n}的n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設條件先求出a_n=2a_n-1，從而得到a_n=2^n-1，再由求出數列{b_n}的通項公式．
（2）因為{a_nb_n}=n•2^n-1，所以由錯位相減法可知數列{a_nb_n}的n項和為T_n．
解答：（1）解：當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，a₁=1
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），∴a_n=2a_n-1
∴數列{a_n}是首項為a₁=1，公比為2的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=2^n-1（2分），∴數列{b_n}的通項公式是b_n=n
（2{a_nb_n}=n•2^n-1
∴T_n=1×2+2×2¹+3×2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-12T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴-T_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ•
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
點評：本題考查數列的通項公式的求法和數列的求和，解題時要注意錯位相減求和法的熟練運用．