Question

已知數列{a_n}是等差數列，公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*)，a_kx²＋2a_k+1x＋a_k+2＝0(k∈N^*)．

(1)求證：當k取不同正整數時，方程都有實數根；

(2)若方程不同的根依次為x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，求證：，，，…，，…是等差數列．

Answer 1

答案：
解析：

　　證明：(1)∵{a_n}是等差數列，公差d≠0，a_n≠0(n∈N^*)，

　　∴2a_k+1＝a_k＋a_k+2．

　　代入已知方程得a_kx²＋(a_k＋a_k+2)x＋a_k+2＝0，

　　即(x＋1)(a_kx＋a_k+2)＝0．

　　方程有解x＝－1，故不論k取何正整數時，方程都有公共根－1．

　　(2)當k取不同正整數時，x_k＝－，

　　∴x_k＋1＝－＋1＝－＝－．

　　故＝－．

　　則－＝(－)－(－)＝－＝－．

　　∴數列{}是等差數列．

　　思路解析：(1)由已知一元二次方程中，其系數a_k，a_k+1，a_k+2為等差數列的相鄰三項，則可考慮用等差中項將一個系數用另外兩個系數的關系式表示，這樣可考慮將方程左端分解因式，看是否有與k無關的因式．

　　(2)只要證明－為一個常數即可．