Question

（本題滿分12分）

如圖所示，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)證明：PQ⊥平面DCQ；

(2)求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值．

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；(2) 1:1.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關鍵，要在平面中尋找與已知直線垂直的兩條相交直線，進行線面關系的互相轉化；

（Ⅱ）利用體積的計算方法將本題中的體積計算出來是解決本題的關鍵，掌握好錐體的體積計算公式．

解：                                 

(1)證明：由條件知PDAQ為直角梯形．

因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.

又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，則PQ⊥QD.

所以PQ⊥平面DCQ.

(2)解：設AB＝a.

由題設知AQ為棱錐Q－ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V₁＝a³.

由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a²，

所以棱錐P－DCQ的體積V₂＝a³.

故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1:1.

考點：本試題主要考查了空間中線面垂直的判定方法，考查學生的轉化與化歸能力，將線面垂直轉化為線線垂直，注意步驟的規范性，考查學生對錐體的體積的計算方法的認識，考查學生的幾何計算知識．

點評：解決該試題中一定要注意步驟的規范性以及對于線面垂直的性質定理的靈活運用。