Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一點P到兩焦點的距離的和為6，離心率為

2 2

3

，A、B分別是橢圓的左右頂點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)C（x，y）（0＜x＜a）為橢圓上一動點，D為C關(guān)于y軸的對稱點，四邊形ABCD的面積為S（x），設(shè)f（x）=

[S(x)]2

x+3

，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用P到兩焦點的距離的和為6，離心率為

2 2

3

，求出幾何量，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）確定四邊形ABCD的面積為S（x），可得f（x）=

[S(x)]2

x+3

，利用導(dǎo)數(shù)知識，可求函數(shù)f（x）的最大值．

解答：解：（1）依題意，P到兩焦點的距離的和為6，離心率為

2 2

3

，
∴2a=6，e=

c

a

=

2 2

3

，
∴a=3，c=2

2

∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1；
（2）依題意，點D（-x，y）（0＜x＜3）
由點C在橢圓

x2

9

+y2=1上得y2=1-

x2

9

，且S（x）=

1

2

(6+2x)•|y|
∴f（x）=

[S(x)]2

x+3

=（x+3）（1-

x2

9

）=-

1

9

x3-

1

3

x2+x+3（0＜x＜3）
∴f′（x）=-

1

3

（x-1）（x+3）
令f′（x）＞0，則-3＜x＜1，
∵0＜x＜3，∴0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，則x＜-3或x＞1，
∵0＜x＜3，∴1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=1處取得唯一的極大值，同時也是最大值，
∴f（x）_max=f（1）=

32

9

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，屬于中檔題．