Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中：AB=1，BB₁=+1，E為BB₁上使B₁E=1的點，平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長線于G.求：

（Ⅰ）異面直線AD與C₁G所成的角的大小；

（Ⅱ）二面角A-C₁G-A₁的正切值.

Answer 1

解法一：

圖1

 Ⅰ）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁為異面直線AD與C₁G所成的角.

         連接C₁F。因為AE和C₁F分別是平行平面ABB₁A₁和CC₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以AE∥C₁F，由此可得D₁F=BE=.再△FD₁G∽△FDA得D₁G=.

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G＝得∠C₁GD₁＝.

   (Ⅱ)作D₁H⊥C₁G于H，連接FH，由三垂線定理知FH⊥C₁G，故∠D₁HF為二面角F-C₁G-D₁即二面角A-C₁G-A₁的平面角.

     在Rt△GHD₁中，由D₁G=，∠D₁GH=得D₁H=.從而

解法二：

圖2

（Ⅰ）由AD∥D₁G知∠C₁GD₁為異面直線AD與C₁G所成的角.

因為EC₁和AF是平行平面BB₁C₁C與AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以EC₁∥AF.

由此可得∠AGA₁=∠EC₁B₁=，

從而A₁G=AA₁=，于是D₁G=

在Rt△C₁D₁G中，由C₁D₁=1，D₁G=得∠C₁GD₁=

（Ⅱ）在△A₁C₁G中，由∠C₁A₁G=，∠A₁GC₁=知∠A₁C₁G為鈍角，作A₁H⊥GC₁交GC₁的延長線于H，連接AH.由三垂線定理知GH⊥AH，故∠AHA₁為二面角A-C­₁G­-A₁的平面角.

在Rt△A₁HG中，由A₁C=，∠A₁GH=得A₁H=

從而 

解法三：

圖3

（Ⅰ）以A₁為原點，A₁B₁，A₁D₁，A­₁A所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.于是,A（0，0， +1），C₁（1，1，0），D（0，1，+1），E（1，0，1）、=（0，1，0），=（0，1，－1）

因為EC₁和AF分別是平行平面BB₁C­₁C和AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，所以EC₁∥AF，設G（0，y，0），

則

由得于是.

故G（0， +1，0）（－1，，0）.

設異面直線AD與C₁G所成的角的大小為θ，則

_，

從而 =

（Ⅱ）作A₁H⊥C₁G于H.由三垂線定理知AH⊥CH，故∠AHA₁為二面角A-C₁G-A₁的平面角.

設H（a，b，0），則

由A₁H⊥C­₁G得，由此得a－b=0.        ①

又由H₁C₁，G共線得，從而于是

      ②

聯立①和②得，故

由_,得