Question

5．已知f（x）是可導的函數，且f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（　　）

• A． f（1）＜ef（0），f（2 016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• B． f（1）＞ef（0），f（2 016）＞e²⁰¹⁶f（0）
• C． f（1）＞ef（0），f（2 016）＜e²⁰¹⁶f（0）
• D． f（1）＜ef（0），f（2 016）＜e²⁰¹⁶f（0）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數判斷其單調性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0．
∴函數g（x）在R上單調遞減．
∴g（1）＜g（0），g（2013）＜g（0）．
即 $\frac{f（1）}{e}$＜$\frac{f（0）}{1}$，$\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$＜$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，
化為f（1）＜ef（0），f（2016）＜e²⁰¹⁶f（0）．
故選：D．

點評 本題是一個知識點交匯的綜合題，考查綜合運用函數思想解題的能力．恰當構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數判斷其單調性是解題的關鍵．