Question

【題目】已知。

（1）曲線在點處的切線的斜率小于，求的單調區間；

（2）對任意的，函數在區間上為增函數，求 的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) f（x）的增區間為（0，1），（2a+1，+∞）；減區間為（1，2a+1）;

(2) [8，+∞）.

【解析】（1）函數f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx，（x＞0），

f′（x）=x﹣（2a+2）+=，x＞0，

由題意可得f′（2）=＜0，可得a＞，2a+1＞2＞1，

由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．

即有f（x）的增區間為（0，1），（2a+1，+∞）；減區間為（1，2a+1）；

（2）∵函數g（x）=f（x）﹣在區間[1，2]上為增函數，

∴g′（x）≥0對任意的a∈[，]，x∈[1，2]恒成立，

即x﹣（2a+2）++≥0，即為x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，

則（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[，]，

由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）+x3﹣2x2+x+λ≥0．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0對x∈[1，2]恒成立，

令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，

則有h（x）在[1，2]遞減，可得h（2）取得最小值，且為﹣8+λ≥0，

解得λ≥8，

∴λ的取值范圍是[8，+∞）．