Question

已知函數，

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：若，則對于任意有。

 

Answer 1

【答案】

（1）a=2時，在上單調增加；時，在上單調減少，在，上單調增加；時，在（1，a-1）上單調減少，在(0,1)，(a-1,+œ)上單調增加；                  

（2）證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）求導，利用導數分類求單調性；（2）先求導，然后求出單間區間，在進一步證明即可.

試題解析：（1）的定義域為，

（i）若，即a=2，則，故在上單調增加。

（ii）若，而，故，則當時，；

當及時，。

故在上單調減少，在，上單調增加。

（iii）若，即， 同理可得在（1，a-1）上單調減少，在(0,1)，(a-1,+œ)上單調增加。                  

（2）考慮函數，

則，

由于，故，即在上單調增加，從而當時，

有，即，故；

當時，有。

考點：1.求函數的導數；2.利用導數求函數的單調性.