Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，O是AC上一點，以O為圓心，OC為半徑的圓交AC于D，與AB切于E，若AD=2，AE=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：法一、由圓O與AB切于E，根據切割線定理，我們根據AD=2，AE=4，得到AC的值，進一步求出圓O的半徑，連接OE后，易得△AEO∽△ACB，然后根據相似三角形的性質，我們不難得到BE的長．
法二、在求出AC的值后，設BE長為x，然后根據過圓外一點到圓的兩條切線長相等，構造關于x的方程，然后解方程即可得到BE的長．
解答：解：法一：圓O與AB切于E，
由切割線定理得AE²=AD•AC，
∴AC=8
∵圓的半徑
連接OE，則OE⊥AB
∠AEO=∠ACB=90°
∠OAE=∠BAC
∴△AEO∽△ACB
=
∴AB=10
BE=AB-AE=6．

法二：圓O與AB切于E，
由切割線定理得AE²=AD•AC，
∴AC=8
∵BE，BC都是圓O的切線
∴BE=BC=x
在Rt△ABC中，BC²+AC²=AB²
∴x²+8²=（x+4）²
∴x=6
即BE=6．
點評：要求線段的長度，我們要先分析已知線段與待求線段之間的關系，在分析過程中要善于分析已知條件及已知條件中隱含的數量關系，然后根據分析過程，利用相似三角形的性質、與圓相關的比例線段等，列出相關的式子，進行求解．