Question

現有一組互不相同且從小到大排列的數據:a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,其中a₀=0.為提取反映數據間差異程度的某種指標,今對其進行如下加工:記T=a₀+a₁+…+a₅,x_n=,y_n=(a₀+a₁+…+a_n),作函數y=f(x),使其圖象為逐點依次連結點P_n(x_n,y_n)(n=0,1,2, …,5)的折線.

(1)求f(0)和f(1)的值;

(2)設P_n-1P_n的斜率為k_n(n=1,2,3,4,5),判斷k₁、k₂、k₃、k₄、k₅的大小關系;

(3)證明當x∈(0,1)時,f(x)＜x.

Answer 1

思路解析:本題主要考查函數知識、斜率公式、分析問題解決問題的能力,結合已知采用分析法將所求問題轉化到能夠解決的范圍內.

(1)解:f(0)==0,f(1)==1.

(2)解:k_n=,n=1,2, …,5,

因為a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅,

所以k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅.

(3)證明:由于f(x)的圖象是連結各點P_n(x_n,y_n)(n=0,1, …,5)的折線,要證明f(x)＜x(0＜x＜1),只需證明f(x_n)＜x_n(n=1,2,3,4).事實上,當x∈(x_n-1,x_n)時,

f(x)=(x-x_n-1)+f(x_n-1)

=f(x_n-1)+f(x_n)

＜=x.

下面證明f(x_n)＜x_n.

對任何n(n=1,2,3,4),

5(a₁+…+a_n)=［n+(5-n)］(a₁+…+a_n)

=n(a₁+…+a_n)+(5-n)(a₁+…+a_n)

≤n(a₁+…+a_n)+(5-n)na_n=n［a₁+…+a_n+(5-n)a_n］

＜n(a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅)=nT.

所以f(x_n)=＜=x_n.