Question

本小題滿分12分

 設數列的前項和為，如果為常數，則稱數列為“科比數列”．

 　　（1）等差數列的首項為1，公差不為零，若為“科比數列”，求的通項公式；

 　　（2）數列的各項都是正數，前項和為，若對任意 都成立，試推斷數列是否為“科比數列”？并說明理由．

Answer 1

【解】（1）設等差數列的公差為，，因為，則，即．   整理得，．                      　　　　　………………3分

       因為對任意正整數上式恒成立，則，解得．　…… 5分

       故數列的通項公式是．                  　　　　　…………… 6分

   ⑵ 由已知，當時，．因為，所以． 　　…………7分

當時，，．

兩式相減，得．

因為，所以=．                   　…………9分

顯然適合上式，所以當時，．

于是．

因為，則，

所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．

所以不為常數，故數列不是“科比數列”． ……12分