Question

根據下面一組等式：
S₁=1
S₂=2+3=5
S₃=4+5+6=15
S₄=7+8+9+10=34
S₅=11+12+13+14+15=65
S₆=16+17+18+19+20+21=111
S₇=22+23+24+25+26+27+28=175
…
可得S₁+S₃+S₅+…+S_2n-1=

n⁴

．

Answer 1

分析：利用等差數列的通項公式與求和公式，可得S_n=（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，結合和的特點可以求解．

解答：解：由題中數陣的排列特征，設第i行的第1個數記為a_i（i=1，2，3…n）
則a₂-a₁=1
a₃-a₂=2
a₄-a₃=3
…
a_n-a_n-1=n-1
以上n-1個式子相加可得，a_n-a₁=1+2+…+（n-1）=

1+n-1

2

×（n-1）=

n(n-1)

2

∴a_n=

n(n-1)

2

+1
S_n共有n連續正整數相加，并且最小加數為

n(n-1)

2

+1，最大加數

n(n-1)

2

∴S_n=n•×

n(n-1)

2

+

n(n-1)

2

×（-1）=

1

2

（n³+n）
∴S_2n-1=

1

2

[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1
∴S₁=1
S1+S₃=16=2⁴
S₁+S₃+S₅=81=3⁴
∴S₁+S₃+…+S_2n-1=1+15+65+…+4n³-6n²+4n-1
=n⁴．
故答案：n⁴

點評：本題以一個三角形數陣為載體，考查了等差數列的通項與求和公式、簡單的合情推理等知識，屬于中檔題．