Question

定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R恒有f（x•y）=f（x）+f（y），且f（x）不恒為0．
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）試判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（Ⅲ）當x≥0時f（x）為增函數，求滿足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，可得f（1）=0；再x=y=-1，可得f（-1）的值．
（2）令y=-1，并結合函數的定義域可得f（x）的奇偶函數．
（3）由題意可得，不等式f（x+1）≤f（2-x）等價于|x+1|≤|2-x|，解得x的范圍，可得不等式的解集．

解答：解：（1）因為對任意x，y∈R恒有f（x•y）=f（x）+f（y），
令x=y=1，可得f（1）=F（1）+f（1），∴f（1）=0；
再令x=y=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1）=0，故有f（-1）=0．
（2）在f（x•y）=f（x）+f（y）中，令y=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）+0=f（x），
再由函數的定義域為R，可得f（x）為偶函數．
（3）由于偶函數f（x）滿足當x≥0時f（x）為增函數，可得 函數f（x）在（-∞，0）上是減函數，
不等式f（x+1）-f（2-x）≤0，即 f（x+1）≤f（2-x），故此不等式等價于|x+1|≤|2-x|，解得 x≤

1

2

，
故不等式的解集為 （-∞，

1

2

]．

點評：本題主要考查求函數的值，函數的奇偶性的判斷，利用函數的奇偶性和單調性解不等式，屬于中檔題．