Question

已知函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且當x＞0，f（x）＜0．又f（1）=-2．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求函數f（x）在區間[-3，3]上的最大值；
（3）解關于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

分析：（1）先求f（0）=0，再取y=-x，則f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立，故可得函數為奇函數；
（2）先判斷函數在（-∞，+∞）上是減函數，再求f（-3）=-f（3）=6，從而可求函數的最大值；
（3）利用函數為奇函數，可整理得f（ax²-2x）＜f（ax-2），利用f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，可得ax²-2x＞ax-2，故問題轉化為解不等式．

解答：解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0…1′
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（-x）=-f（x）對任意x∈R恒成立∴f（x）為奇函數．…3′
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，…4′
∴f（x₂）＜-f（-x₁），
又f（x）為奇函數∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．∴對任意x∈[-3，3]，恒有f（x）≤f（-3）…6′
而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-2×3=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6，∴f（x）在[-3，3]上的最大值為6…8′
（3）∵f（x）為奇函數，∴整理原式得 f（ax²）+f（-2x）＜f（ax）+f（-2），
進一步得f（ax²-2x）＜f（ax-2），
而f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，
∴ax²-2x＞ax-2…10′∴（ax-2）（x-1）＞0．
∴當a=0時，x∈（-∞，1）
當a=2時，x∈{x|x≠1且x∈R}
當a＜0時，x∈{x|

2

a

＜x＜1}
當0＜a＜2時，x∈{x|x＞

2

a

或x＜1}
當a＞2時，x∈{x|x＜

2

a

或x＞1}…12′

點評：本題考查抽象函數的性質，賦值法事常用方法，同時借助于函數的單調性，抽象函數的不等式問題可以轉化為具體函數求解．