Question

在正四棱錐S-ABCD中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且SO=OD，則直線BC與平面PAC的夾角是（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、75°

Answer 1

分析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法求解．

解答：解：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A為x軸，以O(shè)B為y軸，以O(shè)S為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a，
則A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，-

a

2

，

a

2

），
則

CA

=（2a，0，0），

AP

=（-a，-

a

2

，

a

2

），

CB

=（a，a，0），
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為

n

，
則

n

•

CA

=0，

n

•

AP

=0，
∴

2ax=0 -2ay+2az=0

，可取

n

=（0，1，1），
∴cos＜

CB

，n＞=

CB •n

| CB |•|n|

=

a

2a2 • 2

=

1

2

，
∴＜

CB

，n＞=60°，
∴直線BC與平面PAC的夾角為90°-60°=30°．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．