Question

在半徑為R的球內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，這個圓柱的底面半徑和高為何值時，它的側(cè)面積最大？并求此最大值．

Answer 1

分析：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，通過h²+4r²=4R²，利用基本不等式推出rh≤R²，求出S_側(cè)=2πrh≤2πR²，得到結(jié)果．

解答：解  如圖，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，圓柱的底面半徑為r，則h²+4r²=4R²
因為h²+4r²≥4rh，當(dāng)且僅當(dāng)h=2r時取等．所以4R²≥4rh，即rh≤R²
所以，S_側(cè)=2πrh≤2πR²，當(dāng)且僅當(dāng)h=2r時取等．
又因為h²+4r²=4R²，所以r=

2

2

R，h=

2

R時取等
綜上，當(dāng)內(nèi)接圓柱的底面半徑為

2

2

R，高為

2

R時，它的側(cè)面積最大，為2πR²

點評：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接幾何體的表面積的最值的求法，基本不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．